Asal Çarpanlar ve Tam Bölen Sayısı Konu Anlatımı

Asal Çarpanlar ve Tam Bölen Sayısı Konu Anlatımı ile sayıların gizemli dünyasını keşfedin. Sayı teorisindeki temel kavramları ayrıntılı olarak öğrenin!

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir pozitif tam sayıyı tam olarak bölen asal sayılara o sayının asal bölenleri ya da asal çarpanları denir.

x, y, z birbirinden farklı asal sayılar ve a, b, c birer pozitif tam sayı olmak üzere, A=x^a⋅y^b⋅z^c ifadesine A sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı, yapılan bu işleme de asal çarpanlara ayırma denir.

360=2³.3².5¹

Bir asal sayı bir sayının içinde çarpan olarak birden fazla kez yer alıyorsa çarpan listesinde tekrarlanmaz ve üslü ifade şeklinde yazılır. Bir sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışında çarpanlar genellikle tabanlara göre (kuvvetlere göre değil) küçükten büyüğe doğru sıralanır.

Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin temel teoremine göre, 1’den büyük tüm tam sayılar asal sayıların çarpımı biçiminde ve çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilir.

Aşağıda birkaç sayının asal çarpanları cinsinden yazılışları verilmiştir.

12=2²⋅3¹

13=13¹

300=2²⋅3¹⋅5²

Bir sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazarken iki noktaya dikkat edilmelidir, bu iki prensip sayesinde sayılar asal çarpanları cinsinden çarpanların sıralaması hariç tek bir şekilde yazılabilirler.

Birinci nokta: Çarpan listesinde sadece asal sayılar kullanılır, çünkü bileşik sayıların kullanılması bir sayının diğer sayıların çarpımı biçiminde birden fazla şekilde yazılabilmesi anlamına gelir.

Asal çarpanlar biçiminde doğru yazılış:

72=2³⋅3²

Asal çarpanlar biçiminde yanlış yazılışlar:

72=2⋅36

72=4⋅3⋅6

İkinci nokta: 1 bir asal sayı olmadığı için asal çarpan listesinde yer almaz. Her sayının asal çarpanları cinsinden tek bir şekilde yazılabilmesi 1 sayısının bir asal sayı olarak kabul edilmeme sebeplerinden biridir. 1 sayısı bir asal sayı olarak kabul edilmiş olsaydı sayılar asal çarpanları cinsinden birden fazla (hatta sonsuz farklı) biçimde yazılabilirdi.

Asal çarpanlar biçiminde doğru yazılış:

12=2²⋅3¹

Asal çarpanlar biçiminde yanlış yazılışlar:

12=1¹⋅2²⋅3¹

12=1²⋅2²⋅3¹

Bu bilgiler ışığında, önümüzdeki bölenler, katlar, EKOK ve EBOB konularında karşımıza çıkacak sayıları bu sayıları oluşturan asal çarpanları cinsinden düşünüyor olmamız önem taşımaktadır.

Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Bölen Listesi Yöntemi

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için kullanabileceğimiz yöntemlerden biri bölen listesi yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.

1. Önce asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı ilk satırın ilk sütununa yazarak sağına dikey bir çizgi çizeriz.
2. En küçük asal sayı olan 2’den başlayarak, bu asal sayının birinci sütundaki sayıyı kalansız bölüp bölmediğini kontrol ederiz.
3. Eğer denediğimiz asal sayı birinci sütundaki sayıyı kalansız bölüyorsa bu asal sayıyı dikey çizginin sağındaki sütuna yazarız.
4. Birinci sütundaki sayıyı ikinci sütuna yazdığımız bu asal sayıya böleriz ve bölümü birinci sütundaki sayının hemen altına yazarız.
5. Her yeni satırda 2., 3. ve 4. adımları tekrarlarız. Her yeni satırda denemeye bir önceki satırda kullandığımız asal sayı ile devam ederiz. Eğer son satırda kullandığımız asal sayı bu satırdaki sayıyı kalansız bölmüyorsa bu asal sayıdan büyük bir sonraki asal sayıyı deneriz.
6. Birinci sütunda 1 sayısına ulaştığımızda asal çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır. İkinci sütundaki asal sayıları küçükten büyüğe ve her asal sayının tekrar sayısı o sayının kuvveti olacak şekilde çarpan listesi olarak yazarız.

Bu yöntemi kullanarak 504 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki şekilde ayırabiliriz.

Çarpan Ağacı Yöntemi

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmada kullanabileceğimiz diğer bir yöntem çarpan ağacı yöntemidir. Bu yöntemde bir sayıyı asal çarpanlarına aşağıdaki adımlarla ayırabiliriz.

1. Önce asal çarpanlarına ayırmak istediğimiz sayıyı en üstte bir kutuya yazarız (şekildeki turuncu kutu).
2. Bu sayıyı asal ya da bileşik sayı herhangi iki çarpanına ayırırız ve bu çarpanları sayıdan çıkan iki okun bağlandığı yeni kutulara yazarız. Bir sayıyı çarpanlarına ayırırken sayının kendisini ve 1’i çarpan olarak kullanmayız.
3. Eklediğimiz bir kutunun içindeki çarpan bir asal sayı ise sayıyı bir daire içine alırız (şekildeki yeşil kutular). Asal sayı elde ettiğimiz bir kolda çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır.
4. Eklediğimiz bir kutunun içindeki çarpan bir bileşik sayı ise (şekildeki gri kutular) bu kolda çarpanlara ayırma işlemine 2. adımdaki şekilde devam ederiz.
5. Tüm kollarda birer asal sayı elde ettiğimizde çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmıştır. Daire içine aldığımız asal sayıları küçükten büyüğe ve her asal sayının tekrar sayısı o sayının kuvveti olacak şekilde çarpan listesi olarak yazarız.

SORU:

1000’den küçük asal sayıların çarpımının sondan kaç basamağı 0’dır?

 

Cözüm:

Bir sayının içerdiği 10 çarpanı kadar sonunda sıfır bulunur.

10’un asal çarpanları 2 ve 5’tir.

1000’den küçük asal sayılar içinde 2 ve 5 dışında 2 ve 5 asal çarpanlarını içeren sayı yoktur.

Bu durumda 1000’den küçük tüm asal sayıların çarpımı sadece birer tane 2 ve 5 çarpanı, dolayısıyla 1 tane 10 çarpanı içerir. Dolayısıyla bu sayıların çarpımının sondan 1 basamağı 0 olur.

SORU:

A⋅10! çarpımı bir pozitif tam sayının karesi olduğuna göre, A’nın alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

A⋅10! sayısının bir pozitif tam sayının karesi olması için, asal çarpanlarına ayrıldığında tüm üsleri çift sayı olmalıdır.

10!=10⋅9⋅…⋅2⋅1

Her çarpanı ayrı ayrı asal çarpanlarına ayıralım.

=2⁸⋅3⁴⋅5²⋅7

Bu ifadede üssü çift olmayan tek asal çarpan 7 olduğu için A’nın en küçük değeri 7 olur.

Tam Bölen Sayısı

Asal Bölen Sayısı

Bir A pozitif tam sayısının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı aşağıdaki gibi olsun.

A= x^a⋅y^b⋅z^c

Asal bölenler (çarpanlar): x,y,z

Asal bölenlerin (çarpanların) sayısı (ABS) =3

ÖRNEK:

360=23⋅32⋅51

Asal bölenler: 2, 3, 5

Asal bölenlerin sayısı =3

Bölen Sayısı

A sayısının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Bir bölenin negatif işaretlisi de aynı sayının böleni olduğu için pozitif ve negatif tüm bölenlerin sayısı pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşittir.

Pozitif bölenlerin sayısı (PBS) =(a+1)(b+1)(c+1)

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı (TBS) PBS=2⋅(PBS)

ÖRNEK:

360 sayısı için,

PBSPBS=(3+1)(2+1)(1+1)=24

Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

TBSPBSTBS=2⋅PBS=48

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal Olmayan Bölen Sayısı

Bir sayının asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısı pozitif bölen ve asal bölen sayılarının farkına eşittir. Bir sayının asal olmayan tüm bölenlerinin sayısını da benzer şekilde hesaplayabiliriz. Asal sayılar negatif olamayacağı için asal bölenlerin negatif işaretlilerini birer asal bölen olarak düşünemeyiz.

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı=(PBS)−(ABS)

Asal olmayan bölenlerin sayısı=(TBS)−(ABS)

ÖRNEK:

360 sayısı için,

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı =24−3=21

Asal olmayan pozitif bölenler: 2, 3 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı =48−3=45

Asal olmayan bölenler: 2, 3 ve 5 hariç tüm bölenler (-2, -3 ve -5 dahil)

Tek/Çift Pozitif Bölen Sayısı

A sayısının asal çarpanlarından x’in çift sayı, y ve z’nin tek sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda A’nın pozitif bölenlerinden tek sayı olanların sayısını bulmak için sadece tek asal çarpanları dikkate alarak pozitif bölen sayısını hesaplarız. Çift sayı pozitif bölen sayısı toplam pozitif bölen sayısının tek sayı pozitif bölen sayısından farkına eşittir.

x çift sayı, y ve z tek sayı olmak üzere,

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı (TPBS) =(b+1)(c+1)

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı (ÇPBS) =(PBS)−(TPBS)

ÖRNEK:

360 sayısı için,

TPBSTPBS=(2+1)(1+1)=6

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45

ÇPBSÇPBS=24−6=18

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

• Tüm asal sayılar içinde sadece 2’nin çift sayı olduğunu burada tekrar hatırlatalım, dolayısıyla asal çarpan olarak 2 içermeyen sayıların hem kendileri hem de tüm bölenleri tek sayıdır.

SORU 1:

200 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazıp yukarıda listelenen bölen sayılarını hesaplayın.

Çözüm:

200’ün asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışı:

200=2³⋅5²

Asal bölenler: 2, 5

Asal bölenlerin sayısı =2

Pozitif bölenlerin sayısı =(3+1)(2+1)=12

Pozitif bölenler: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

Tüm (pozitif ve negatif) bölenlerin sayısı =2⋅12=24

Tüm bölenler: Yukarıdaki pozitif bölenler ve negatif işaretlileri

Asal olmayan pozitif bölenlerin sayısı =12−2=10

Asal olmayan pozitif bölenler: 2 ve 5 hariç pozitif bölenler

Asal olmayan bölenlerin sayısı =24−2=22

Asal olmayan bölenler: 2 ve 5 hariç tüm bölenler

Tek sayı pozitif bölenlerin sayısı =(2+1)=3

Tek sayı pozitif bölenler: 1, 5, 25

Çift sayı pozitif bölenlerin sayısı =12−3=9

Çift sayı pozitif bölenler: Yukarıdaki tek sayı pozitif bölenler hariç tüm pozitif bölenler

SORU 2:

25⋅33⋅52⋅7 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 4 ile tam bölünür ancak 7 ile tam bölünmez?

Çözüm:

Verilen sayıya A diyelim.

A=25⋅33⋅52⋅7

Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı asal çarpanlarının kuvvetlerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

Önce pozitif bölenlerden 4 ile tam bölünenleri bulalım.

A sayısının içindeki 4 çarpanını ayıralım.

2²⋅(2³⋅3³⋅5²⋅7)

Buna göre A sayısının 2³⋅3³⋅5²⋅7 sayısının pozitif bölen sayısı kadar 4 ile tam bölünen pozitif böleni vardır.

(3+1)⋅(3+1)⋅(2+1)⋅(1+1)=96 pozitif bölen

Şimdi de pozitif bölenlerden 4 ve 7 ile tam bölünenleri bulalım. Bunun için A sayısının içindeki 4 ve 7 çarpanlarını ayıralım.

2²⋅7⋅(2³⋅3³⋅5²)

A sayısının 2³⋅3³⋅5² sayısının pozitif bölen sayısı kadar 4 ve 7 ile tam bölünen pozitif böleni vardır.

(3+1)⋅(3+1)⋅(2+1)=48 pozitif bölen

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarırsak istenen durumu buluruz.

96−48=48 pozitif bölen

Bölenlerin Toplamı

Bir sayının pozitif bölenlerinin toplamı aşağıdaki iki formülle bulunabilir.

A= x^a⋅y^b⋅z^c

Asal bölenlerin toplamı =x+y+z

 

Pozitif bölenlerin toplamı =

Pozitif bölenlerin toplamı =

Bölenlerin Çarpımı

Bir A sayısının bölenlerinin çarpımını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

Pozitif bölenlerin çarpımı=

PBS: A sayısının pozitif bölenlerinin sayısı