Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı

Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı, Karmaşık sayılar konusunu anlamak ve öğrenmek için detaylı ve açıklayıcı konu anlatımı. Matematik bilginizi geliştirin!

Karmaşık Sayılar

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler

z = α + bi

Genel olarak karmaşık sayılar için “z“ harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup _i² = -1 özelliğini sağlayan sanal birime i denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı C olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni, İngilizce’de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de rastlanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

z = α + i · 0 € R

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. z = 4 – 7i sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = − 7 olan C uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, R uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla C uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.^[1]

ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,(x² + 1 = 0 =>x² = -1) karesi –1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız…

a ve b birer reel sayı ve i = √-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık (Kompleks) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

C = {z : z = a + bi ; a, b € R ve √-1 = i}dir.

(i = √-1 => i² = -1 dir.)

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Örnek: Z₁ = 3 + 4i, Z₂ = 2 – 3i, Z₃ = √3 + i, Z₄ = 7, Z₅ = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z₂ = 2 – 3i =>Re(Z₂) = 2 ve İm(Z₂) = -3,
Z₃ = √3 + i =>Re(Z₃) = √3 ve İm(Z₃) = 1,
Z₄ = 7 =>Re(Z₄) = 7 ve İm(Z₄) = 0,
Z₅ = 10i =>Re(Z₅) = 0 ve İm(Z₅) = 10 dur.

Örnek: x² – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² – 4ac = (-2) ² – 4.1.5 = -16 = 16.i²

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.^[2]

İ’nin Kuvvetleri

iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁵ = i, …

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, – i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Buna göre, n € N olmak üzere,

i⁴ⁿ = 1
i⁴ⁿ + 1 = i
i⁴ⁿ + 2 = -1
i⁴ⁿ + 3 = -i dir.

Örnek: ( i¹⁴ + i¹⁵ + 1 ).( i⁹⁹ + i¹⁰⁰ – 1) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm: i¹⁴ = (i⁴)³.i² = 1³.(-1) = -1
i¹⁵ = (i⁴)³.i³ = 1³.(-i) = -i
i⁹⁹ = (i⁴)²⁴ .i ³ = 1²⁴.(-i) = -i
i¹⁰⁰ = (i⁴)²⁵ = 1²⁵ = 1 olduğu için,

(i²⁴ + i¹⁵ + 1).(i⁹⁹ + i¹⁰⁰ – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i² = – 1 dir.^[2]

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.

Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }

Örnek: Z₁ = a + 3 + 2bi + 3i
Z₂ = 8 + (a + b)i
Z₁ = Z₂ olduğuna göre, b değerini bulalım.

Çözüm: Z₁= (a + 3) + (2b + 3)i, Z₂ = 8 + (a + b)i ve Z₁ = Z₂ olduğundan,
a + 3 = 8 => a = 5
2b + 3 = a + b => 2b + 3 = 5 + b => b = 2 dir.

Örnek: Z₁ = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z₂ = 0
Z₁ = Z₂ olduğuna göre, a.b değerini bulalım.

Çözüm: Z₁ = Z₂ olduğundan,
a – 2 = 0 => a =2,
a + b + 3 = 0 => 2 + b + 3 = 0 => b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.^[2]

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

Örnek:

1) Z₁ = 4 + 3i sayısının eşleniği Z₁ = 4 – 3i,

2) Z₂ = √2 – √3i sayısının eşleniği Z₂ = √2 + √3i,

3) Z₃ = -7i sayısının eşleniği Z₃ = 7i,

4) Z₄ = 12 sayısının eşleniği Z₄ = 12,

5) Z₅ = √3 – √2 sayısının eşleniği Z₅ = √3 – √2 dir.

Örnek: Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm: 3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

3a – 1 = 8 => 3a = 9 => a = 3 ve
-3b = -2 => b = 2/3 tür.

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:

1. Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( (ž) = z )
2. Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.^[2]