Türev Konu Anlatımı

Türev Konu Anlatımı: Fonksiyonların türevlerini nasıl alacağınızı, türevin matematiksel anlamını ve farklı uygulama alanlarını ayrıntılı bir şekilde öğrenin.

TÜREV NEDİR?

a, b birer reel sayı olmak üzere,

f: [a,b] → R fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x0 daki türevi denir.

Ve f ‘(x0), Df(x₀) ya da ile gösterilir. Buna göre,

x – x₀ = h alınırsa x ® x0 için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

 

Türevin Tanımı 2

A⊂R ve a ∈ A olsun. f:A→ R fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

 

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç:

1. f ‘(a+) = f’(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır. 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı: Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

n ∈ R olmak üzere,

f(x)= xⁿ ise f'(x)=n.x^n-1

2. c Sabit Sayısının Türevi

c ∈ R olmak üzere,

f(x)= c ise f'(x)=0

3. c^× f(x) in Türevi

c ∈ R olmak üzere,

[c.f(x)]’=c.[f(x)]’=c.f'(x)

4. Toplamın Türevi

[f(x)+g(x)]’=[f(x)]’+[g(x)]’=f'(x)+g'(x)

5. Farkın Türevi

[f(x)-g(x)]’=[f(x)]’-[g(x)]’=f'(x)-g'(x)

6. Çarpımın Türevi

[f(x).g(x)]’=f'(x).g(x)+g'(x)+f(x)

7. Bölümün Türevi

Sonuç:

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

f: A → R, y=f(x) verilsin. a ∈ A, f(a)≠0  olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç: Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

 

Uyarı: f ‘(2) gösterimi [f(2)]‘ gösterimi ile karıştırılmamalıdır. f ‘(2) ¹ [f(2)]‘ dir. Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x)  in x = 2 için değeridir.[f(2)]‘ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]‘ = 0 dır.

Kural:

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

Kural:

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Kural:

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

u=f(x) olmak üzere,

y=a^u ise y’=u’.a^u. lna olur

Kural:

u=f8x) olmak üzere,   y=e^u ise y’=u’.e^u olur.

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

 

f=A → R fonksiyonu y=f(x) şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir. Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

 

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen

y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir. x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi

olmak üzere,

 

f’(x) in türevi olan

ifadesine y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

 

Benzer şekilde, ifadesine de y = f(x) in n. mertebeden türevi denir.

 

Kural:

19. Ters Fonksiyonların Türevi

 

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Kural: Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.